Математика никогда еще не была захватывающей, даже Льюис Кэррол ей не помог. Но если сильно-сильно захотеть, то и такую белиберду, как математика, можно понять. Важно что — надо хорошенько помнить все базовые понятия, тогда из них складываются умные мысли. Это как слова или ноты, только немножко иначе. Как аккорды на гитаре — для меня до сих пор фантастика, никак не пойму как люди на гитаре играют!
Случайное событие
Как и положено всякой приличной науке, в математике место мистификации очень мало. Случайное событие – первое и последнее понятие, в котором имеет место неопределенность. Мы говорим, что смотреть мы будем на некоторый набор событий, которые не могут произойти одновременно (намеренно избегая примеров). Вероятность этих неодновременных событий мы на веру берем равной единице (старательно избегая страшных слов сумма и прочее). Каждое из событий будет иметь вероятность происхождения – какую-то долю от одного. Проценты тоже страшно неполезны, поэтому в математике говорят о вероятности в числах от 0 до 1, так меньше шансов совершить ошибку.
Ошибка
Первое упоминание ошибки возникло в первом же определении. Мир неидеален и все совершают ошибки. Это не плохо и не хорошо, это факт. Поэтому слово ошибка может быть трактовано десятком различных способов: погрешность, колебание, неточность, случайность, остаток расчета. В большинстве случаев когда в математике говорят «ошибка» мы подразумеваем случайную величину, распределенную стандартно нормально.
Случайная величина
В отличие от события, в случайной величине нет ничего загадочного. Это некоторое число, которое выпадает в неизвестном порядке. Математики любят красивые романтические слова и называют этот порядок функцией, записывают красиво так наклонными буковками с большими отступами.
Плотность распределения случайных величин
Вот тут без примера никак. Вы сидите на балконе. Внизу под вами пустой контейнер, а у вас решето со свежими, вкусно пахнущими абрикосами. Вы их едите, а косточки выбрасываете в тот самый контейнер. Они, на удивление, как бы вы точно не бросали, ну никак не складываются в аккуратную стопочку или рядами. Напротив, образуют некоторый рисунок. Это и является примером распределения случайных величин. В данном случае, двумерного. Плотность распределения дает примерное обозначение количества выпадения каждой величины. Понятно, что вы будете чаще попадать ближе к обозначенной точке, чем куда-то непонятно вообще куда. Так и плотность, будет говорить, что в этой точке она будет давать большее значение, а бросить за миллион километров вам вряд ли удастся и плотность будет говорить что-то вроде «не-е-е, туда вряд ли попадешь, ноль почти что шансов у тебя». Поскольку мы решили в самом начале, что все-все вероятности дадут нам единицу, то с плотности мы говорим страшно загадочную вещь, что интеграл этой плотности будет равен единице. Понимать этот страшный интеграл в общем-то не очень нужно и он не кусается.
Нормальное распределение
Есть такие люди, которые ходят на работу, как все нормальные, заводят семью, как все нормальные, учатся не хорошо, но и не так чтобы уж очень плохо. Они просто нормальные, а не какие-нибудь там. Также и с распределениями – нормальное такое, порядочное и прилежное распределение похоже в графике на слона, которого проглотил удав. Если слон был нормальным и удав не слишком толстым, то оно стандартное нормальное (обозначается N(0,1) – в среднем ноль, один болтается), это уж совсем как все. Если удав страдал ожирением, то распределение совсем ненормальное. Удавы обычно худые, а тут вдруг жирный. А вот слон может быть любым, ему законы нипочем. Правило только есть – удавов измеряем только удавами. Взяли удава – как не меряй, это единица. Слон должен четко помещаться. Если вылезает, торчит из удава, все, никакого тебе не то что нормального, вообще никакого распределения. Еще можно выделить два случая нормального распределения, чтобы было понятно в чем бывает разница. Вот Эйфелева башня, жутко популярная, все только туда и ходят. Возьмем сказочного удава. Ему никто не диктует, что он не может проглотить башню. Он ее берет и глотает. Высокий пик получается на удаве, а хвост все такой же тонкий. Все, что высокое – популярное. Или вот в противоположность башне, вдруг взял удав и проглотил Мамаев Курган, но без Родины Матери только. Сам холм. Холм и холм, ходят по всему по нему, в одном месте не собираются. Удав когда такое проглотит даже грустит как-то, плохо переваривает и хвост у него толстеть начинает от депрессии. От того распределения с низким пиком и широкими полями называют «fat tails».
Математическая модель
Любое математическое объяснение начинает расти из построения набора уравнений. К примеру, вот у нас двор детского сада. Какая задача у детей во дворе? Набегаться, чтобы проголодаться, налопаться в обед чего-нибудь вкусного и задрыхнуть на часик-другой. Других задач нет. Если огородить аккуратно (сбегут же иначе), то можно использовать их как модель броуновского движения. Это такое движение, когда все частицы двигаются независимо ни от чего лишнего. От чего зависят дети? От родителей, а в детском саду их нет, поэтому независимы. От времени зависимы? Ну только когда вырастут, а тут, на пять минут, конечно независимы, что им эти пять минут. Бегают как попало в разные стороны, визжат и сталкиваются, просто отличная модель броуновского движения. А какие у них уравнения?
Уравнения модели
В начальный момент времени они равны нулю
Wo=0
Ну это понятно. Не было ребенка, а потом «оп» и появился. Аист там или капуста – математике это не интересно, она же не ботаника с зоологией. Конечно же как все нормальные дети, они нормальны и так, обычным образом зависят от времени
Wt распределено N(0,t)
То есть нормально, но не стандартно, а так… как со временем пойдет. И тут что важно, что изменения во времени независимы
Wt-h распределено N(0,t-h)
Нормальные ребёнки на прошлом не зацикливаются и развиваются в настоящем времени. А дальше уже можно приворачивать – с чего начинал ребенок, насколько родители у него бешеные и получится модель геометрического броуновского движения. С чего начинал – это среднее, бешеность родителей – это волотильность. А дальше там всякие буковки красивые, суть не в них. Важно, что есть и другие модели, они чуть иначе описывают поведения акций на рынке, их тоже неплохо бы смотреть, когда смотришь на то, как все вокруг крутится.
Дальше будет сложнее